背景介紹 

雖然我們先學(xué)習(xí)的是傅里葉變換，但是實(shí)際上我先說的是拉普拉斯變換，原因有二，首先是拉普拉斯變換更多的只是一種數(shù)學(xué)變換，相對理解更為單純，另外拉普拉斯比傅里葉年長19歲，先出生的。所以拉普拉斯變換實(shí)際上出現(xiàn)時(shí)間早。

1. 1.什么是拉普拉斯變換

   拉普拉斯變換本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，屬于一種積分變換，即將時(shí)域t的信號，轉(zhuǎn)變成了復(fù)數(shù)域s的信號。因此，拉氏系統(tǒng)仍然是時(shí)域系統(tǒng)，解決的問題也是t的問題。

   從邵博士看來，拉普拉斯巧妙解決了對于信號和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。

2. 2.信號與系統(tǒng)

   一個(gè)信號的性質(zhì)，可以很清晰地用關(guān)于t 的函數(shù)x(t)來展現(xiàn)出來，這是老百姓們喜聞樂見的。但是問題來了，一個(gè)例如電阻、電感和電容組成的系統(tǒng)，該如何描述呢？一個(gè)信號進(jìn)入了系統(tǒng)之后的結(jié)果，又如何描述呢？

   拉普拉斯是這么考慮的：

   1.	信號x(t)通過拉普拉斯變換，可以轉(zhuǎn)換成X(s)。
   2.	一個(gè)系統(tǒng)，如果用一個(gè)沖擊函數(shù)δ(t)作為輸出，這個(gè)系統(tǒng)的輸出G(t)進(jìn)行拉普拉斯變換，就成為這個(gè)系統(tǒng)的所謂系統(tǒng)函數(shù)G(s)。
   3.	信號X(s)經(jīng)過系統(tǒng)G(s)之后的輸出是Y(s) =X(s)G(s)，其反變換y(t)就是輸出信號。

   總結(jié)來說，在拉普拉斯看來，信號和系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的，都是用s的一串描述。一個(gè)任何信號X(s)經(jīng)過系統(tǒng)G(s)，和一個(gè)信號G(s)經(jīng)過系統(tǒng)X(s)，結(jié)果是完全一致的。從觀察者來說，信號和系統(tǒng)沒有區(qū)別?；蛘哒f“信號即系統(tǒng)，系統(tǒng)即信號”。

   

   皮埃爾-西蒙 拉普拉斯 Pierre-Simon Laplace 1749 ~ 1827

   拉普拉斯做了很多事情，研究了概率論，做過拿破侖的老師。但是他最大的貢獻(xiàn)是讓很多21世紀(jì)的電氣專業(yè)學(xué)生生活在拉普拉斯變換的恐懼中。

3. 3.一階系統(tǒng)分析

   假設(shè)有一個(gè)一階系統(tǒng)：

   

   我們現(xiàn)在要考察一個(gè)階躍信號x(t) = ε(t)進(jìn)入這個(gè)系統(tǒng)之后的輸出是啥樣子，該如何做呢？

   3.1 數(shù)學(xué)計(jì)算

   如果用數(shù)學(xué)計(jì)算的方法，那么首先計(jì)算階躍信號ε(t)的拉普拉斯變換，可以得到：

   

   這樣系統(tǒng)的輸出為：

   

   對輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到：

   

   這個(gè)時(shí)域信號在t = 0的時(shí)候是0，在t = +∞的時(shí)候是1。

   3.2 Matlab仿真結(jié)果

   為了有更好地直觀的感受，可以考察一下如圖表 2的階躍系統(tǒng)仿真。

   

   圖表 2 Matlab的一階系統(tǒng)階躍仿真模型

   

   圖表 3 一階系統(tǒng)階躍仿真結(jié)果

   這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)為  的系統(tǒng)又稱為“一階低通濾波器”，當(dāng)然，最終講清楚這件事情的是還沒有登場的傅里葉。一階系統(tǒng)可以是一階低通濾波器，也可以是一階高通濾波器。其中一階低通濾波器最為常見，因此本文主要講低通濾波器。直觀地說，一階低通濾波器就是將信號變化的速度變緩慢，從一個(gè)鋒銳的階躍變成緩慢的上升。

   3.3 一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)

   不失一般性，我們給出一個(gè)一階低通濾波器的最常見的狀態(tài)：

   

   參照3.1的方法，可以得到其階躍響應(yīng)為：

   

   其中T就是一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)。很顯然，t越大，y(t)約接近于1。這個(gè)t的時(shí)間用時(shí)間常數(shù)T來衡量最合適不過。

   從表格 1可以看到，當(dāng)t = 3T時(shí)，y(t)達(dá)到了最終穩(wěn)定值的95.0%（3T原理），當(dāng)t = 5T時(shí)，y(t)達(dá)到了最終穩(wěn)定值的99.3%（5T原理）。

   

   表格 1 一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)計(jì)算

   從圖表 3也可以清晰地觀察到3T原理和5T原理的結(jié)果。

   3.4 一階低通濾波器的應(yīng)用

   

   圖表 4 經(jīng)過一階低通濾波器的輸入和輸出（左圖為輸入，右圖為輸出）

    

   這里討論一階低通濾波器的一種應(yīng)用。左圖為一階低通濾波器的信號輸入，在1s的時(shí)候，有一個(gè)長度為100ms的有用脈沖信號進(jìn)入，在1.19s時(shí)，有一個(gè)長度為0.1ms的干擾信號進(jìn)入。

   系統(tǒng)希望對有用信號進(jìn)行動(dòng)作，但是想消除干擾信號的影響。為了這個(gè)目的，構(gòu)筑一個(gè)低通濾波器：

   

   用圖表 5所示的仿真模型，可以得到圖表 4右圖的結(jié)果?？梢钥吹剑杏眯盘枎缀鯖]有太大的影響，而無用的信號由于時(shí)間寬度太窄，幾乎被消滅不見了。

   這種濾波器的設(shè)計(jì)，關(guān)鍵在于時(shí)間常數(shù)T。時(shí)間常數(shù)T越大，則有用信號的失真越大，但是對干擾的抑制越明顯。

   

   圖表 5 仿真模型

   賽思億至少在2個(gè)地方使用了上述的概念：

   ① PPB的光電編碼器濾波硬件電路設(shè)計(jì)。光電編碼器的輸出使用低通濾波器可以有效地減少干擾對信號的影響，特別是z通道的信號。但是需要注意的是，隨著轉(zhuǎn)速的升高以及分辨率的上升，有用信號脈沖寬度變窄，則時(shí)間常數(shù)T需要適當(dāng)降低。

   ② PLC中的對于DI信號輸入的濾波調(diào)整，采用軟件的方式構(gòu)筑低通濾波器來消除可能的干擾導(dǎo)致的DI誤響應(yīng)。

   3.5 二級系統(tǒng)響應(yīng)

   看完了一階系統(tǒng)響應(yīng)，我們來瞅瞅二階系統(tǒng)響應(yīng)。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分別為：

           和         

   兩者的階躍響應(yīng)可以從圖表 6看出一些端倪。G1(s)的階躍響應(yīng)出現(xiàn)了超調(diào)，而G2(s)的階躍響應(yīng)和一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)類似，只不過更慢。

   

   圖表 6 G1(s)和G2(s)的階躍響應(yīng)

    

   二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)不同的是，一階系統(tǒng)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的，而二階系統(tǒng)有可能是振蕩的，可能是穩(wěn)定但是具有超調(diào)，也可能是穩(wěn)定但是沒有超調(diào)，要復(fù)雜的多。

   所以教科書里面，往往會針對不同的二級系統(tǒng)，定義所謂的“振蕩系統(tǒng)”、“無阻尼系統(tǒng)”、“欠阻尼系統(tǒng)”、“臨界阻尼系統(tǒng)”和“過阻尼系統(tǒng)”等等。這些分析就不展開了?？傊畞碚f，二級系統(tǒng)更加復(fù)雜。

4. 4.系統(tǒng)函數(shù)有什么用

   現(xiàn)在簡單展開一下，系統(tǒng)函數(shù)或者說拉普拉斯變換還有哪些用處呢？由于系統(tǒng)函數(shù)本質(zhì)上是對一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行了一個(gè)深度的數(shù)學(xué)描述，因此最大的優(yōu)勢就是可以用數(shù)學(xué)的計(jì)算定量地考察一個(gè)系統(tǒng)的性能。特別的，可以用來考察一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

   系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)典控制系統(tǒng)用所謂的極點(diǎn)來分析。一個(gè)控制系統(tǒng)，首先要追求整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般采用閉環(huán)傳遞函數(shù)來表達(dá)。事實(shí)上閉環(huán)傳遞函數(shù)在控制器設(shè)計(jì)出來之前并不知道，所以一般采分析分析開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，就可以知道控制的主要參數(shù)設(shè)計(jì)。這時(shí)候，一些經(jīng)典的工具，類似根軌跡法、奈奎斯特曲線法和羅素判據(jù)啥的就出來了，其實(shí)沒有啥實(shí)際工程作用。

   我們花了精力解釋了一下一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)。實(shí)際上，很多系統(tǒng)都是高階的，但是只要關(guān)注最右邊的極點(diǎn)，一般高階系統(tǒng)都可以湊湊合合近似成一階系統(tǒng)或者二階系統(tǒng)。

   然而這些系統(tǒng)通常仍然不實(shí)用，因?yàn)樯厦嫠忻枋龅南到y(tǒng)都屬于“線性時(shí)不變系統(tǒng)”，那些不屬于線性時(shí)不變系統(tǒng)都屬于超綱題了，考試不考的?？上У氖?，絕大部分的系統(tǒng)都是這種討厭的非線性系統(tǒng)，一般來說，要定性分析這些非線性系統(tǒng)就很難了，更不要說什么零極點(diǎn)了。如果一定要分析，那么就會用小信號模型等方法進(jìn)行線性化處理。這里不多扯淡了，因?yàn)樯鄄┦空J(rèn)為小信號模型方法本身就沒啥用。

    

 邵博士小結(jié) 

本文給了幾個(gè)基本概念：信號、系統(tǒng)、以及描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

拉普拉斯變換，完成了從時(shí)域信號和系統(tǒng)函數(shù)的統(tǒng)一。

在我們看來，一個(gè)波形信號進(jìn)入了一個(gè)濾波器，輸出得到了另一個(gè)信號。

在拉普拉斯看來，波形信號經(jīng)過拉普拉斯變換是函數(shù)，濾波器特性經(jīng)過拉普拉斯變換也是函數(shù)，兩者沒有任何區(qū)別，這也是“信號即系統(tǒng)，系統(tǒng)即信號”的原因，而兩個(gè)函數(shù)的乘積得出了輸出信號。

這樣的變換和描述，竟然是一個(gè)普世不變的真理，這個(gè)就是信號與系統(tǒng)專業(yè)的基礎(chǔ)和奧秘。

在我看來：“這個(gè)變換不光給我的大學(xué)生涯平添了很多煩惱，同時(shí)也是我們電控世界的無上利器，而且他絕對公平，用的好不好就看我們自己。”